什么是指数函数 指数函数是什么样子

单相桥式整流滤波电路是“直流电源”系统中常见的、经典的电路，本文侧重于分析其中电容滤波电路的运行过程，详细回顾电容在其中是如何发挥作用的。

图1 电容充放电电路

在开启本文内容之前，我们先来看一下经典的电容试验。

电容充放电试验

图1电路中直流电压源V1=12V，电阻R2=1kΩ，开关S1，电容C1=1μF，电阻R1=1kΩ，

开关S1可以在左右两个电路中来回切换。

图2 电容的充电动态图，来源网络。

毫无疑问，S1闭合左边电路之时，电压源V1向C1充电，直至C1两端电压达到 一定值后停止充电，此时：

电容两端电压+电阻R2两端电压=电源V1电压12V。

在仿真电路中，我们可以验证如下：

图3 电容充电过程中两端电压变化曲线

从图3中红色的曲线即为电容两端的电压变化情况，横坐标轴为时间轴，纵坐标轴为电压值。

电容充电曲线以指数规律形式上升，大概3ms后达到最大值，约为3.87V。

图3 电容的放电过程，来源网络

如果此时开关拨向右边电路，那么电容会将自己“体内”满满的电荷流向电阻R1。这个流动过程，叫做放电，见图3。

进行定量分析。

『分析的过程中，使用了基尔霍夫定律和齐次微分方程的解法，这些在《电路》和《高等数学》都有介绍』

图4 RC零输入响应

推导过程可以不用太在意，关键看下我们的结论的，见图4。

电阻两端的电压UR(t)和iR(t)随着时间都是按照指数规律变化。同时，根据指数函数的性质，当时间为0时，函数取最大值V1和V1/R；

当时间趋向无穷大时，得到电压和电流值为0。

令τ=RC

指数函数变化的快慢，与τ有关，τ值越大，函数变化越平缓，放电速度越慢；

τ值越小，函数变化越陡峭，放电速度越快。

图5 不同τ的指数曲线

我们可以通过图5看出，指数函数与τ取值的关系。

当τ=1ms时，为图5中的绿色曲线；

当τ=2ms时，为图5中的红色曲线；

当τ=10ms时候，为图5中的黑色曲线；

我们通常认为当时间为3~5个τ的时候，电压与电流值已经基本为0了，此时认为放电结束。

加上示波器，我们可以看下实际的波形。

图6 电容放电曲线

波形的确是按照指数规律下降，我们看到从419ms电压开始下降，423ms差不多电压趋于平缓。

『小结』

电容两端电压不能突变，在并联电路中可以起到稳定电压的作用；

如果你的电压没有我电容的高，那么我就对你充电，直至和我保持一样；

如果你的电压比我高，那你就对我充电，直至我的电压和你保持一致；

流过电容的电流与电容两端电压的变化率成正比，Ic=C dUc/ dt。

电压变化越快，电流越大。

电容滤波电路

图7 单相桥式整流电容滤波电路及输出波形，来源网络

图7的电路，我们应该很熟悉，因为在前面单独一文说过整流电路：

交流变直流，二极管整流电路是如何工作的？

这里的变化就是加了一个电容C。

如果不加电容C，输出uo的波形就是图7(b)的半波正弦(虚线)。那么现在电容C过来，它必然要发挥作用。

没错，就是保持电压的作用。

图8 实际的电压输出波形

图8中红色曲线为副边电压u2的波形，绿色曲线为电路输出电压uo波形。

㈠当副边电压u2处于正弦波形正半周的时候，二极管D1、D3导通，此时对电容C先充电，如图7(b)中的绿色曲线。（理想情况下，变压器副边无损耗，二极管导通电压为零）

㈡随之时间的推进，当副边电压u2上升到峰值后开始下降，电容通过负载电阻RL放电，其电压uc也开始下降。

㈢继续，当输入电压u2在某一时刻开始小于电容C电压的时候（图8中绿色与红色曲线的交点），此时二极管D1、D3反向截止。电容C继续通过RL放电，如图(b)中的绿色折线。

㈣当u2的负半周幅度值变化到恰好大于uc时，D2、D4因正向电压变为导通状态，u2再次对C充电，uc上升到u2的峰值后又开始下降；下降到一定数值时D2、D4变为截止，C对RL放电，按指数规律下降；放电到一定数值时，D1、D3变为导通，重复上述过程。

具体的动态过程可以看图7(b)。

这个波形看起来，不像单相桥式整流电路那么“震荡”，交流成分明显减少。

我们也知道，电容通交流（高频），阻直流（低频），所以一旦和负载RL并联，必然交流高频部分直接被电容过滤掉，所以这个电容也叫作旁路电容，因为它在“旁边”。

图9 仿真电路

『主要特点』

㈠减少输出直流电压的脉动程度，提高了输出电压的平均值。

㈡电容放电时，回路电阻RL，放电时间常数为RLC，通常远大于充电的时间常数。电容越大，负载电阻越大，滤波后输出电压越平滑，并且其平均值越大。

㈢通过计算（将图9近似用折线替代），电容滤波电路输出电压的平均值可以达到1.2U2，电容承受的电压为√2U2，考虑到电网电压存在10%的波动，因此电容的耐压值应大于1.1√2U2。

图10 不同RlC的输出波形比较

㈣在实际的电路中，选择的滤波电容的容量一般需要满足RLC=3~5T/2，其中T为电网电压的周期（如果电网电压为50Hz，那么周期T为20ms）

㈤输出电压随着负载电流增大（负载电阻变小）而下降——带负载的能力低。适用于输出电压高，负载小且变化少的场合。

㈥如果负载电阻无穷大，开路，电容不放电，输出电压√2U。

图11 电容滤波电路中二极管的电流和导通角

我们知道，如果没有加这个电容，那么桥式整流电路的中的二极管均有半个周期处于导通状态，称其导通角为θ等于π。

但是，一旦加上了滤波电容C，只有在给电容充电的时候，二极管才导通，所以每只二极管的导通角都要小于π了。

RLC如果取值较大，那么电容放电折线越“平缓”，滤波效果越好，电容充电时间也就越短，所以导通角θ越小。

观察图11(b)，输出电流为io，iD电流为整流二极管电流。根据基尔霍夫定律，我们可以认为iD=io+iC。

由于导通时间很短，所以要在短时间内产生io，必须电容充电电流iC很大（电容两端电压变化率很大），所以机会造成iD短时间内很大。

图12 电容滤波电路的电流值分析

通过图12，我们可以看出实际的电流波形，比理想的图11要复杂的多。二极管的冲击电流非常大。

电感滤波

在大电流的负载情况下，由于负载电阻RL很小，如果使用了电容滤波电路，想要保持“平滑”的电压输出效果，必然要提高电容C，因此电容容量需要很大，这个时候电容器和整流管都不太好选择。

此时可以采用电感滤波电路。

图13 电感滤波电路

电感的感抗随着交流频率的增大而增大，它就阻碍了交流成分的通过。

同时电感线圈上，利用它的感应电动势eL=-Ldi/dt，阻碍电流的变化，减少了对二极管的冲击作用，频率越高，感抗越大， 滤波效果就越好。

同时，由于滤波电感电动势的作用，二极管的电流不可能像图12那样尖峰突变，必然要平缓很多。

所以电感滤波的二极管的导通角可以等于π，减少了二极管的冲击电流，延长使用寿命。

总结

实际的工作中，通常采用复式滤波电路，结合电容和电感的特点进行组合，包括LC滤波电路、LCπ型滤波电路，RCπ型滤波电路。

各种滤波电路主要考虑三个参数，分别为脉动系数、二极管导通角、带负载能力。

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